Question

4．已知x=1，x=5是函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）兩個相鄰的極值點，且f（x）在x=2處的導數f′（2）＜0，則f（0）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據已知可得函數f（x）的周期T=8，且在[1，5]上為減函數，進而求出φ=$\frac{π}{4}$，可得答案．

解答 解：∵x=1，x=5是函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）兩個相鄰的極值點，
∴$\frac{T}{2}$=5-1=4，
∴T=8，
∵ω＞0
∴ω=$\frac{π}{4}$，
∵f（x）在x=2處的導數f′（2）＜0，
∴函數f（x）在[1，5]上為減函數，
故$\frac{π}{4}$+φ=2kπ，k∈Z，φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴f（0）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數的圖象，函數的周期性，函數的單調性，函數求值，難度中檔．