Question

已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓的左右頂點分別是A、B，過點的動直線與橢圓交于M，N兩點，連接AN、BM相交于G點，試求點G的橫坐標(biāo)的值.

 

Answer 1

（1）橢圓C方程是；（2）G的橫坐標(biāo)的值為8.

【解析】

試題分析：（1）由，又點在橢圓上，所以，這樣便得一方程組，解這個方程組求出a、b的值，即可得橢圓C的方程；（2）首先考慮直線MN垂直于軸的情況，易得此時交點為，由此可知，點G的橫坐標(biāo)應(yīng)當(dāng)為8.當(dāng)直線MN不垂直軸時，設(shè)直線MN：，.由A、N、G三點共線有，由A、N、G三點共線有，有，即，化簡，當(dāng)時化簡得.接下來聯(lián)立直線MN與橢圓方程再用韋達(dá)定理代入此等式驗證即可.

（1）由，又點在橢圓上，所以解得，則橢圓C方程是； .3分

（2）當(dāng)直線MN垂直于軸，交點為，

由題知直線AN：，直線MB：，交點 .5分

當(dāng)直線MN不垂直軸時，設(shè)直線MN：，

聯(lián)立直線MN與橢圓方程得

， .7分

因為，由A、N、G三點共線有

同理，由A、N、G三點共線有

有，即，化簡，驗證當(dāng)時化簡得帶入韋達(dá)定理恒成立，因此G的橫坐標(biāo)的值為8. 13分

考點：1、軌跡方程的求法；2、直線與圓錐曲線的關(guān)系.