Question

16．函數f（x）=1g[（1-x）（x-3a-1）]的定義域為集合A．
（1）設函數y=x²-2x+3（0≤x≤3）的值域為集合B，若A∩B=B，求實數a的取值范圍；
（2）設集合B={x|（x-a）（x-a²-1）＜0），是否存在實數a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 根據對數函數的定義域得到集合A．
（1）因為函數g（x）的真數大于0的x一定存在，所以集合B非空，要使B是A的子集，分兩類情況列式計算．
（2）根據A=B求得a的值，再驗證集合A、B是否滿足元素的互異性．

解答 解：由題意得A={x|-x²+（3a+2）x-3a-1＞0}={（x-1）（x-3a-1）＜0}．
（1）∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2（0≤x≤3），
∴當x=1時，y_最小值=2；
當x=3時，y_最大值=6，
則B=[2，6]．
∵A∩B=B，
∴B⊆A，
∴3a+1＞6，
解得a＞$\frac{5}{3}$，
∴實數a的取值范圍是（$\frac{5}{3}$，+∞）．
（2）∵a＜a²+1，
∴B={x|a＜x＜a²+1}，
①若1＜3a+1即a＞0時，A={x|1＜x＜3a+1，若A=B，則$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{{a}^{2}+1=3a+1}\end{array}\right.$，無解；
②若1=3a+1時，A=∅，B=∅，A≠B；
③若1＞3a+1即a＜0時，A={x|3a+1＜x＜1}，
若A=B，則$\left\{\begin{array}{l}{a=3a+1}\\{{a}^{2}+1=1}\end{array}\right.$，無解．
綜上所述，不存在實數a，使得A=B．

點評 本題考查了對數函數的定義域，考查了集合關系中的參數最值問題，考查了分類討論思想，解答此題的關鍵是正確對B⊆A的情況分類，是易錯題．