Question

3．定義域為R的奇函數f（x）=$\frac{b-h（x）}{1+h（x）}$，其中h（x）是指數函數，且h（2）=4．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求不等式f（2x-1）＞f（x+1）的解集．

Answer 1

分析 （1）根據h（2）=4求得指數函數h（x）的解析式，再根據f（0）=0，求得b的值，可得f（x）的解析式．
（2）根據f（x）在R上單調遞減，可得2x-1＜x+1，求得x的范圍．

解答 解：（1）由于h（x）是指數函數，可設h（x）=a^x，a＞0，a≠1，
∵h（2）=a²=4，∴a=2，∴函數f（x）=$\frac{b-h（x）}{1+h（x）}$=$\frac{b{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$．
∵函數f（x）=$\frac{b-h（x）}{1+h（x）}$是定義域為R的奇函數，故有f（0）=$\frac{b-1}{1+1}$=0，∴b=1，
∴f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$．
（2）∵f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-1，在R上單調遞減，
故由不等式f（2x-1）＞f（x+1），可得2x-1＜x+1，求得x＜$\frac{2}{3}$，
即原不等式的解集為{x|x＜$\frac{2}{3}$ }．

點評 本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，函數的奇偶性和單調性的綜合應用，屬于中檔題．