Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，$\frac{b}{a-b}=\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，a=3，$sinB=\frac{{\sqrt{11}}}{6}$，則b等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理、誘導公式化簡已知的等式，由C的范圍得到A=C，即可得a=c、B是銳角，由條件和平方關系求出cosB的值，由條件和余弦定理求出邊b的值．

解答 解：由題意得，$\frac{b}{a-b}=\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，
由正弦定理得，$\frac{sinB}{sinA-sinB}=\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，
則sinAsinB-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C，
又sinA≠0，得sinB=sin2C，即sin（A+C）=sin2C，
因為$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，所以$A+C＞\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}＜2C＜π$，
則A+C=2C，得A=C，即c=a=3，且B是銳角，
由$sinB=\frac{{\sqrt{11}}}{6}$得$cosB=\sqrt{1-si{n}^{2}B}=\frac{5}{6}$，
由余弦定理得，b²=2a²-2a²cosB=3，即$b=\sqrt{3}$，
故選A．

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理，誘導公式，平方關系等應用，注意內角的范圍，考查轉化思想，化簡、變形能力．