Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為q（q≠-1）的等比數(shù)列，若$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}}\right\}$是等差數(shù)列，則$（\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}）+（\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}）+…+（\frac{1}{{{a_{2015}}}}+\frac{1}{{{a_{2016}}}}）$=（　　）

• A． 4026
• B． 4028
• C． 4030
• D． 4032

Answer 1

分析 運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的定義，求得q=1，進而得到所求和．

解答 解：數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為q（q≠-1）的等比數(shù)列，
可得a_n=q^n-1，
由$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}}\right\}$是等差數(shù)列，
即$\frac{1}{{q}^{n-1}（1+q）}$-$\frac{1}{{q}^{n-2}（1+q）}$為常數(shù)，
可得q=1，即a_n=1，$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
即有$（\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}）+（\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}）+…+（\frac{1}{{{a_{2015}}}}+\frac{1}{{{a_{2016}}}}）$=2×2014=4028．
故選：B．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的定義，考查運算能力，屬于中檔題．