Question

1．已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是（0，-3）和（0，3），且橢圓經過點  （0，4），求
（1）該橢圓的標準方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為$\frac{4}{5}$的直線被C所截線段的中點坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，則設橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=3，則過（0，4），則b=4，由a²=b²+c²=25，即可求得橢圓的標準方程；
（3）由題意設直線方程為y=$\frac{4}{5}$（x-3），代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=3，由中點坐標公式可知：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，代入直線方程求得y=$\frac{6}{5}$，即可求得直線被C所截線段的中點坐標．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓焦點為（0，-3）和（0，3），可知橢圓的焦點在x軸上，
設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=3，
由題意可知：橢圓經過點（0，4），即點（0，4）為橢圓的上頂點，
即b=4，
由a²=b²+c²=25，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）依題意可得，直線方程為y=$\frac{4}{5}$（x-3），設直線被C所截線段的中點坐標P（x，y）．
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{y=\frac{4}{5}（x-3）}\end{array}\right.$，整理得x²-3x-8=0；
設直線與橢圓的兩個交點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由韋達定理得：x₁+x₂=3，
∴中點橫坐標為x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，代入直線方程得y=$\frac{4}{5}$（$\frac{3}{2}$-3）=-$\frac{6}{5}$，
∴中點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{6}{5}$）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理中點坐標公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．