Question

1．已知函數(shù)f（x）=1+lnx-ae^x
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和幾何意義即可求出，
（Ⅱ）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求出參數(shù)的取值范圍

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=1+lnx-ae^x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ae^x，x∈（0，+∞）．
由于曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=1-ae=0，
解得$a=\frac{1}{e}$，
（Ⅱ）由條件知對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤0恒成立，
此命題等價(jià)于a≥$\frac{1+lnx}{{e}^{x}}$對任意x∈（0，+∞）恒成立
令$h（x）=\frac{1+lnx}{e^x}$，x∈（0，+∞）．
∴${h^'}（x）=\frac{{\frac{1}{x}-1-lnx}}{e^x}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$（$\frac{1}{x}$-1-lnx），x∈（0，+∞）．
令g（x）=（$\frac{1}{x}$-1-lnx），x∈（0，+∞）．
則g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0．
∴函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減．
注意到g（1）=0，即x=1是g（x）的零點(diǎn)，
而當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜0．
又e^x＞0，所以當(dāng)∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．
則當(dāng)x變化時(shí)，h′（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	↗	極大值$\frac{1}{e}$	↘

因此，函數(shù)h（x）在x∈（0，+∞），取得最大值$h（1）=\frac{1}{e}$，所以實(shí)數(shù)a≥$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于難題