Question

10．若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-5）x-2，x≥2}\\{{x}^{2}-2（a+1）x+3a，x＜2}\end{array}\right.$ 對任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （1，5）
• C． [1，5）
• D． [1，4]

Answer 1

分析 若對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，則函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-5）x-2，x≥2}\\{{x}^{2}-2（a+1）x+3a，x＜2}\end{array}\right.$ 為減函數，進而根據分段函數單調性的定義，可得答案．

解答 解：若對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
則函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-5）x-2，x≥2}\\{{x}^{2}-2（a+1）x+3a，x＜2}\end{array}\right.$ 為減函數，
則$\left\{\begin{array}{l}{4-4（a+1）+3a≥2（a-5）-2}\\{a+1≥2}\\{a-5＜0}\end{array}\right.$，
解得：a∈[1，4]，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，熟練掌握并正確理解分段函數單調性的定義，是解答的關鍵．