Question

11．已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函數f（x）=log_ax在區間[a，2a]上的最大值與最小值之差為1．
（1）求a的值；
（2）解不等式${log_{\frac{1}{3}}}（x-1）＞{log_{\frac{1}{3}}}（a-x）$；
（3）求函數g（x）=|log_ax-1|的單調區間．

Answer 1

分析 （1）根據對數函數的性質求出a的范圍，根據函數的單調性得到log_a（2a）-log_aa=1，求出a的值即可；
（2）根據函數的單調性得到關于x的不等式組，解出即可；
（3）通過討論x的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）∵log_a3＞log_a2，∴a＞1，
又∵y=log_ax在[a，2a]上為增函數，
∴log_a（2a）-log_aa=1，∴a=2．
（2）依題意可知$\left\{\begin{array}{l}x-1＜2-x\\ x-1＞0\end{array}\right.$解得$1＜x＜\frac{3}{2}$，
∴所求不等式的解集為$（1，\frac{3}{2}）$．
（3）∵g（x）=|log₂x-1|，
∴g（x）≥0，當且僅當x=2時，g（x）=0，
則$g（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{log_2}x，0＜x≤2\\{log_2}x-1，x＞2\end{array}\right.$
∴函數在（0，2）上為減函數，在（2，+∞）上為增函數，
g（x）的減函數為（0，2），增區間為（2，+∞）．

點評 本題考查了對數函數的性質，考查函數的單調性問題，是一道中檔題．