Question

求f（x）=

1-x2

x+3

的值域．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：令x=cosθ（0≤θ≤π）換元，轉化為y=

sinθ

cosθ+3

后由其幾何意義求得值域．

解答： 解：由1-x²≥0，的-1≤x≤1．
令x=cosθ（0≤θ≤π），
則f（x）=y=

1-x2

x+3

=

1-cos2θ

cosθ+3

=

sinθ

cosθ+3

，
其幾何意義為半圓x²+y²=1（y≥0）上的動點與定點（-3，0）連線的斜率的范圍．
則其最小值為0，
設過（-3，0）的圓x²+y²=1的切線方程為y=k（x+3），即kx-y+3k=0．
由

|3k|

k2+1

=1，解得k=

2

4

或k=-

2

4

（舍）．
∴f（x）=

1-x2

x+3

的值域為[0，

2

4

]．

點評：本題考查了函數值域的求法，考查了還原法，關鍵是對數學轉化思想方法的運用，是中檔題．