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已知a1b1+a2b2＞0，且a1，a2，b1，b2都是實數，求證：a1b1+a2b2≤
a
2
1
+
a
2
2
•
b
2
1
+
b
2
2
．
考點：二維形式的柯西不等式
專題：證明題,不等式的解法及應用
分析：利用作差比較法，即可得出結論．
解答： 證明：∵（a12+a22）（b12+b22）-（a1b1+a2b2）2 =a12 b22+a22 b12-2a1b1a2b2=（a1b2-a2b1）2≥0，
∴（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2成立，
∵a1b1+a2b2＞0，
∴a1b1+a2b2≤
a
2
1
+
a
2
2
•
b
2
1
+
b
2
2
．
點評：本題考查不等式的性質，不等式的證明方法，比較基礎．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

“x＞1”是“
1
x
＜1”的（　　）
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：（x+1）2+y2=20點B（l，0）．點A是圓C上的動點，線段AB的垂直平分線與線段AC交于點P．
（I）求動點P的軌跡C1的方程；
（Ⅱ）設M(0，
1
5
)，N為拋物線C2：y=x2上的一動點，過點N作拋物線C2的切線交曲線Cl于P，Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

圓錐的高為h，底面半徑為r，過兩條母線作一截面，截得底面圓弧的
1
4
，求該截面的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=
2x2-ax+1
x2+4x+6
的最小值為1，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖是一個半徑為3米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每分鐘轉動四圈，水輪上的點P相對于水面的高度y（米）與時間x（秒）滿足函數關系y=Asin（ωx+φ）+2（A＞0，ω＞0，φ∈（-
π
2
，
π
2
）），且初始位置時y=
7
2
，則函數表達式為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求f（x）=
1-x2
x+3
的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求證：
5
是無理數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）求F（x）=f（x）-g（x）的極小值；
（2）在（1）的結論下，是否存在實常數k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m同時成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，說明理由．
（3）設G（x）=f（x）+2-g（x）有兩個零點x1和x2，若x0=
x1+x2
2
，試探究G′（x0）值的符號．

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同步練習冊答案
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