Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₂=4，S₅=30．
（Ⅰ）求a_n的表達式；
（Ⅱ）設A_n為數列{

an-1

an

}的前n項積，是否存在實數a，使得不等式An•

2n+1

＜a對一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）將數列{a_n}依次按1項，2項，3項，1項，2項，3項循環地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₂₀₁₅的值．

Answer 1

考點：數列的應用,等差數列的性質

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）因為數列{a_n}是等差數列，從而可求通項公式a_n=4+（n-2）2=2n（n∈N^*）；
（Ⅱ）設g（n）=An•

2n+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

a3

）

2n+1

，可證g（n）單調遞減，從而可得g（n）_max=g（1）=

3

2

．從而化恒成立問題為最值問題；
（Ⅲ）數列{a_n}依次按1項，2項，3項，1項，2項，3項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），（20，22，24）；…，每一次循環記為一組．由于每一個循環含有3個括號，故b₂₀₁₅是第672組中第2個括號內各數之和．由分組規律知，b₂，b₅，b₈，…，b₂₀₁₅，…組成首項b₂=10，公差d=24的等差數列．從而求得．

解答： 解：（Ⅰ）因為數列{a_n}是等差數列，
由S₅=30，得a₃=6，所以公差d=2．
所以a_n=4+（n-2）2=2n（n∈N^*）；
（Ⅱ）設g（n）=An•

2n+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

a3

）

2n+1

，
因為

g(n+1)

g(n)

=（1-

1

an+1

）

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1，
并且g（n）＞0，
所以g（n）＞g（n+1）．
g（n）單調遞減，
所以g（n）_max=g（1）=

3

2

．
因為不等式An•

2n+1

＜a對一切n∈N^*都成立，
所以a＞

3

2

．
（Ⅲ）數列{a_n}依次按1項，2項，3項，1項，2項，3項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12）；（14），（16，18），（20，22，24）；…，
每一次循環記為一組．由于每一個循環含有3個括號，故b₂₀₁₅是第672組中第2個括號內各數之和．
由分組規律知，b₂，b₅，b₈，…，b₂₀₁₅，…組成首項b₂=10，公差d=24的等差數列．
其中b₂₀₁₅是這個數列的第672項，所以b₂₀₁₅=10+（672-1）×24=16114．

點評：本題考查了數列的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．