Question

【題目】在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，M是直線DE上的動點．若△ABC的面積為2，則 + 2的最小值為 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：∵D、E是AB、AC的中點， ∴M到BC的距離等于點A到BC的距離的一半，
∴S△ABC=2S△MBC ， 而△ABC的面積2，則△MBC的面積S△MBC=1，
S△MBC= 丨MB丨丨MC丨sin∠BMC=1，
∴丨MB丨丨MC丨= ．
∴ =丨MB丨丨MC丨cos∠BMC= ．
由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨丨CM丨cos∠BMC，
顯然，BM、CM都是正數，
∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨丨CM丨，
∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC
=2× ﹣2× ．
∴ + 2≥ +2× ﹣2×
=2 ，
方法一：令y= ，則y′= ，
令y′=0，則cos∠BMC= ，此時函數在（0， ）上單調減，在（ ，1）上單調增，
∴cos∠BMC= 時， 取得最小值為 ，
+ 2的最小值為2 ；
方法二：令y= ，
則ysin∠BMC+cos∠BMC=2，則 sin（∠BMC+α）=2，
tanα= ，
則sin（∠BMC+α）= ≤1，
解得：y≥ ，
則 + 2的最小值為2 ；
所以答案是：2 ．