Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱A₁A⊥底面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，D是棱AC的中點，且AB=BC=BB₁=4．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面BC₁D；    
（Ⅱ）求異面直線AB₁與BC₁所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結CB₁交BC₁于點O，側棱A₁A⊥底面ABC，O為B₁C的中點，且D是棱AC的中點，可得AB₁∥OD，利用線面平行的判定定理即可．
（Ⅱ）AB₁∥OD，可得∠DOB為異面直線AB₁與BC₁所成的角或其補角．解△OBD即可求出異面直線AB₁與BC₁所成的角．

解答 解：（Ⅰ）連結CB₁交BC₁于點O，…（1分）
側棱A₁A⊥底面ABC
∴側面BB₁C₁C是矩形，
O為B₁C的中點，且D是棱AC的中點，
∴AB₁∥OD，…（3分）
∵OD平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D…（5分）
∴AB₁∥平面BC₁D…（6分）
（Ⅱ）AB₁∥OD，∴∠DOB為異面直線AB₁與BC₁所成的角或其補角．
$∠ABC=\frac{π}{2}$，AB=BC=BB₁=4$BD=2，OD=\frac{1}{2}A{B_1}=2，OB=2$，
∴△OBD為等邊三角形，
∴∠DOB=60°，…（11分）
∴異面直線AB₁與BC₁所成的角為60⁰．…（12分）

點評 本題考查了線面平行，異面直線所成的角，關鍵是要轉化條件，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．