Question

14．某木材加工廠為了提高生產效率和產品質量，決定添置一臺12.5萬元的新木材加工機器．若機器第x天的維護費為x元，則該機器使用多少天能使平均每天的支出最少？

Answer 1

分析 確定每天的維護費數量，可得總維護費，進而可得總支出費、平均每天的支出，利用基本不等式，即可求得結論．

解答 解：設機器使用x天最經濟，則機器每天的維護費數量為1，2，3，…，x（元）
這是一個等差數列，總維護費為$\frac{x（x+1）}{2}$（元）總支出費為125000+$\frac{x（x+1）}{2}$（元）
平均每天的支出為$y=\frac{{125000+\frac{x（x+1）}{2}}}{x}=\frac{125000}{x}+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$$≥2\sqrt{\frac{125000}{x}•\frac{x}{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1001}{2}$當且僅當$\frac{125000}{x}=\frac{x}{2}$，即x=500時等號成立．
答：該機器使用500天能使平均每天的支出最少．

點評 本題考查函數模型的構建，考查基本不等式，正確確定函數解析式是關鍵．