Question

（本小題滿分12分）
如圖(1)在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分別是PC、PD、BC的中點，現將△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如圖2)
(1)求二面角G－EF－D的大小；
(2)在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明過程.

Answer 1

(1) 45°；(2) 點Q是線段PB的中點

(1)利用向量法求解，先建系，然后求出二面角兩個面的法向量，再根據法向量的夾角與二面角相等或互補來解.
（2）易證PC,因為E為PC的中點，所以當Q為PB的中點時，PC⊥平面ADQ.也可利用向量法推證.
解：(1)建立如圖所示空間直角坐標系，設平面GEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，則

 取n＝(1，0，1)     …………4分
又平面EFD的法向量為m＝(1，0，0)
∴cos<m，n> ＝                …………6分
∴<m，n>＝45°                           …………7分
(2)設＝λ (0＜λ＜1)
則＝＋＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ)      …………9分
∵AQ⊥PC ó·＝0 ó  2×2λ－2(2－2λ)＝0
ó  λ＝                …………11分
又AD⊥PC，∴PC⊥平面ADQ ó λ＝
ó 點Q是線段PB的中點.                           …………12分