Question

直四棱柱的底面是菱形，，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形.、分別是側(cè)棱、上的動(dòng)點(diǎn)，．

(Ⅰ)證明：；
(Ⅱ)在棱上，且，若∥平面，求.

Answer 1

(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)2

本題考查了線線、線面的垂直和平行的定理應(yīng)用，如何實(shí)現(xiàn)線線和線面垂直和平行的轉(zhuǎn)化；求多面體體積時(shí)常用分割法求，注意幾何體的高．
（1）由題意知AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD得BD⊥平面AA₁C₁C，再證BD⊥EF；
（2）由EF∥平面PBD得EF∥PO，再由題意構(gòu)造中位線得QC∥PO，證出EFCQ為平行四邊形再由題意求CF；
解：⑴連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231627396534.png" style="vertical-align:middle;" />是菱形，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231627474775.png" style="vertical-align:middle;" />是直四棱柱，，，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231627661614.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231627708699.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以……6分．
⑵ 連AC交BD與O，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231627739459.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以EF//PO 取中點(diǎn)，則，所以，所以為平行四邊形，
則，從而…12分