Question

(14分)如圖，在直三棱柱中，，點是的中點.
（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）求證:平面；
（Ⅲ）求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為。

(I)由題目條件可知,又因為,D為AB的中點，所以,所以.
(II)連接BC₁交B₁C交于O點，連接OD，則OD//AC₁,所以平面.
(III)在（I）的基礎上可知就是異面直線與所成角,然后解三角形求角即可.
（Ⅰ）∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中
,
∴…………1
又,…………2
………………………3
∴……………………4
（Ⅱ）設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE，…………….5
∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，
∴DE//AC₁，…………………………………………7
∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，………….8
∴AC₁//平面CDB₁……………………………………9
（Ⅲ）∵DE//AC₁，∴∠CED或其補角為AC₁與B₁C所成的角……..10
在△CED中，ED=-------------12

∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為………………………14