Question

19．（1）設橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$過點（0，4），離心率為$\frac{3}{5}$，求C的標準方程；
（2）已知拋物線的準線方程是y=-2，求拋物線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點在x軸上，過（0，4），則b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，求得a=5，寫出橢圓方程；
（2）設拋物線方程為：x²=2py（p＞0），$\frac{p}{2}$=2，2p=8，∴拋物線的標準方程x²=8y．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，過（0，4），則b=4，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{16}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，解得：a=5，
橢圓C的標準方程$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）拋物線的準線方程是y=-2，焦點在y軸正半軸，設拋物線方程為：x²=2py（p＞0），
則$\frac{p}{2}$=2，2p=8，
∴拋物線的標準方程x²=8y．

點評 本題考查橢圓和拋物線的標準方程及簡單幾何性質，考查計算能力，屬于基礎題．