Question

（本小題滿分13分）

某校100名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區間如下：

組號	第一組	第二組	第三組	第四組	第五組
分組	[50，60)	[60，70)	[70，80)	[80，90)	[90，100]

（Ⅰ）求圖中a的值；

（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生期中考試數學成績的平均分；

（Ⅲ）現用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取

2名，求其中恰有1人的分數不低于90分的概率？

Answer 1

（Ⅰ）a=0.005；（Ⅱ）74.5；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據所以概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關系，可求出所求；

（Ⅱ）均值為各組組中值與該組頻率之積的和；

（Ⅲ）先分別求出3，4，5組的人數，再利用古典概型知識求解．

試題解析：

【解析】
（Ⅰ）由題意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．

（Ⅱ）由直方圖分數在[50，60]的頻率為0.05，[60，70]的頻率為0.35，[70，80]的頻率為0.30，

[80，90]的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學生期中考試數學成績的平均分的估計值為：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5

（Ⅲ）由直方圖，得：

第3組人數為0.3×100=30，

第4組人數為0.2×100=20人，

第5組人數為0.1×100=10人．

所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，

每組分別為：

第3組：人，

第4組：人，

第5組：=1人．

所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．

設第3組的3位同學為A1，A2，A3，第4組的2位同學為B1，B2，第5組的1位同學為C1，則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下：

（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），

其中恰有1人的分數不低于9（0分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5種．所以其中第4組的2位同學至少有一位同學入選的概率為.

考點：①頻率分布直方；②平均數的求法；③古典概率．