Question

17．已知數列{a_n}為等比數列，a_n＞0，a₁=2，2a₂+a₃=30．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足，b_n+1=b_n+a_n，b₁=a₂，求b_n．

Answer 1

分析 （I）設等比數列{a_n}的公比為q＞0，由a₁=2，2a₂+a₃=30．可得2×2q+2×q²=30，解得q．
（II）b_n+1=b_n+a_n，b₁=a₂，可得：n≥2時，b_n-b_n-1=a_n-1=2×3^n-2，b₁=6．利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）即可得出．

解答 解：（I）設等比數列{a_n}的公比為q＞0，∵a₁=2，2a₂+a₃=30．
∴2×2q+2×q²=30，解得q=3．
∴a_n=2×3^n-1．
（II）∵b_n+1=b_n+a_n，b₁=a₂，
∴n≥2時，b_n-b_n-1=a_n-1=2×3^n-2，b₁=6．
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=6+2[3^-1+3⁰+…+3^n-2]
=6+2×$\frac{\frac{1}{3}（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$=$\frac{17}{3}$+3^n-2．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式、累加求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．