Question

6．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A₁、A₂，上、下頂點分別為B₂、B₁，O為坐標原點，四邊形A₁B₁A₂B₂的面積為4，且該四邊形內切圓的方程為x²+y²=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若M、N是橢圓C上的兩個不同的動點，直線OM、ON的斜率之積等于-$\frac{1}{4}$，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用四邊形A₁B₁A₂B₂為菱形，求出ab=2，圓心O到直線A₂B₂的距離為$\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，列出方程，求出a，b，即可得到橢圓方程．
（Ⅱ）若直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得：（1+4k²）x²+8mkx+4（m²-1）=0，利用韋達定理以及判別式，通過直線OM，ON的斜率之積等于$-\frac{1}{4}$，求出三角形的面積，若直線MN的斜率不存在，M，N關于x軸對稱，設M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），求解三角形的面積即可．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵四邊形A₁B₁A₂B₂的面積為4，又可知四邊形A₁B₁A₂B₂為菱形，
∴$\frac{1}{2}×2a•2b=4$，即ab=2  ①
由題意可得直線A₂B₂方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，
∵四邊形A₁B₁A₂B₂內切圓方程為${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$，
∴圓心O到直線A₂B₂的距離為$\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，即$\frac{|-ab|}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$②…（3分）
由①②解得：a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）若直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得：（1+4k²）x²+8mkx+4（m²-1）=0∵直線l與橢圓C相交于M，N兩個不同的點，
∴△=64m²k²-16（1+4k²）（m²-1）＞0得：1+4k²-m²＞0③
由韋達定理：${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}$…（7分）
∵直線OM，ON的斜率之積等于$-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{km（{x_1}+{x_2}）+{k^2}{x_1}{x_2}+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{km•（-8mk）+4{k^2}（{m^2}-1）+{m^2}（1+4{k^2}）}}{{4（{m^2}-1）}}=\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{4（{m^2}-1）}}=-\frac{1}{4}$，
∴2m²=4k²+1滿足③…（9分）
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4k}{m}，{x_1}{x_2}=2-\frac{2}{m^2}$，
又O到直線MN的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，$|MN|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{16{k^2}+8}}{m^2}-8}$，
所以△OMN的面積$S=\frac{1}{2}|MN|•d=\frac{1}{2}\sqrt{16{k^2}+8-8{m^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{16{k^2}+8-4（4{k^2}+1）}=1$…（12分）
若直線MN的斜率不存在，M，N關于x軸對稱
設M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），則$\frac{y_1}{x_1}•\frac{{-{y_1}}}{x_1}=-\frac{1}{4}$，${x_1}^2=4{y_1}^2$，
又∵M在橢圓上，$\frac{{{x_1}^2}}{4}+{y_1}^2=1$，∴$|{x_1}|=\sqrt{2}，|{y_1}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以△OMN的面積S=$\frac{1}{2}×2|{y}_{1}||{x}_{1}|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1．
綜上可知，△OMN的面積為定值1．…（13分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，三角形的面積的求法，點到直線的距離公式的應用，考查分析問題解決問題的能力．