Question

14．（Ⅰ）如果關于x的不等式|x+3|+|x-2|＜a的解集不是空集，求參數a的取值范圍；
（Ⅱ）已知正實數a，b，且h=min{a，$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$}，求證：0＜h≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如利用絕對值三角不等式求得|x+3|+|x-2|的最小值為5，從而求得參數a的取值范圍．
（Ⅱ）根據題意可得0＜h≤a，0＜h≤$\frac{b}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，再來一用不等式的基本性質證得0＜h≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵|x+3|+|x-2|≥|（x+3）-（x-2）|=5，
當且僅當-3≤x≤2時，等號成立，故|x+3|+|x-2|的最小值為5，
如果關于x的不等式|x+3|+|x-2|＜a的解集不是空集，則a＞5．
（Ⅱ）證明：∵已知正實數a，b，且h=min{a，$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$}，
∴0＜h≤a，0＜h≤$\frac{b}{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴0＜h²≤$\frac{ab}{{a}^{2}{+b}^{2}}$≤$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴0＜h≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查三角不等式的應用，不等式的基本性質，屬于中檔題．