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14.(Ⅰ)如果關于x的不等式|x+3|+|x-2|<a的解集不是空集,求參數a的取值范圍;
(Ⅱ)已知正實數a,b,且h=min{a,$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$},求證:0<h≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

分析 (Ⅰ)如利用絕對值三角不等式求得|x+3|+|x-2|的最小值為5,從而求得參數a的取值范圍.
(Ⅱ)根據題意可得0<h≤a,0<h≤$\frac{b}{{a}^{2}{+b}^{2}}$,再來一用不等式的基本性質證得0<h≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

解答 解:(Ⅰ)∵|x+3|+|x-2|≥|(x+3)-(x-2)|=5,
當且僅當-3≤x≤2時,等號成立,故|x+3|+|x-2|的最小值為5,
如果關于x的不等式|x+3|+|x-2|<a的解集不是空集,則a>5.
(Ⅱ)證明:∵已知正實數a,b,且h=min{a,$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$},
∴0<h≤a,0<h≤$\frac{b}{{a}^{2}{+b}^{2}}$,
∴0<h2≤$\frac{ab}{{a}^{2}{+b}^{2}}$≤$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$,∴0<h≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點評 本題主要考查三角不等式的應用,不等式的基本性質,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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③若A:B:C=1:2:3,則a:b:c=1:2:3,
④在△ABC中,b=2,B=45°,若這樣的三角形有兩個,則邊a的取值范圍為(2,2$\sqrt{2}$)
其中正確的個數為(  )
A.1B.2C.3D.4

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