Question

已知函數（R），為其導函數，且時有極小值．

（1）求的單調遞減區(qū)間；

（2）若，，當時，對于任意x，和的值至少有一個是正數，求實數m的取值范圍；

（3）若不等式（為正整數）對任意正實數恒成立，求的最大值．

 

Answer 1

(1)；(2)；（3）6.

【解析】

試題分析：（1）首先要求得的解析式，其中有兩個參數，已知條件告訴我們以及，由此我們把這兩個等式表示出來就可解得，然后解不等式即可得遞減區(qū)間；（2）由（1）可得，，由于，又，當時，，因此此時已符合題意，當時，也符合題意，而當時，，因此我們只要求此時，是二次函數，圖象是開口方向向上的拋物線，故可采用分類討論方法求得的范圍，使；（3）不等式為，即，設，由恒成立，只要的最小值大于0即可，下面就是求的最小值，同樣利用導函數可求得，于是只要，變形為，作為的函數，可證明它在上是減函數，又，故可得的最大值為6.

（1）由，因為函數在時有極小值，

所以，從而得， 2分

所求的，所以，

由解得，

所以的單調遞減區(qū)間為， 4分

（2）由，故，

當m>0時，若x>0，則>0，滿足條件； 5分

若x=0，則>0，滿足條件； 6分

若x<0，

①如果對稱軸≥0，即0＜m≤4時，的開口向上，

故在上單調遞減，又，所以當x<0時，>0 8分

②如果對稱軸＜0，即4＜m時，

解得2<m<8，故4＜m <8時，>0；

所以m的取值范圍為（0，8）； 10分

（3）因為，所以等價于

，即，

記，則，

由，得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以， 12分

對任意正實數恒成立，等價于，即，

記，則，

所以在上單調遞減，又，

所以的最大值為． 16分

考點：（1）函數的極值，單調區(qū)間；（2）分類討論；（3）不等式恒成立與函數的最值及函數的單調性.