Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求點C的坐標；

（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

 

Answer 1

（1）求橢圓方程一般用待定系數法.本題已知橢圓過兩點，列兩個方程，解出的值,（2）求點的坐標，需列出兩個方程.一是點C在橢圓上，即，二是的中點在直線上，即.注意到在第三象限，舍去正值.（3）題意明確，思路簡潔，就是求出點的坐標，算出為定值.難點是如何消去參數.因為點在直線： 上，所以可設，．選擇作為參數，即用表示點的坐標.由三點共線，解得，同理解得.從而有，這里主要用到代入化簡.本題也可利用橢圓參數方程或三角表示揭示為定值.

【解析】

試題分析：（1）,（2）,（3）.

試題解析：（1）由已知，得 解得2分

所以橢圓的標準方程為． 3分

（2）設點，則中點為．

由已知，求得直線的方程為，從而．①

又∵點在橢圓上，∴．②

由①②，解得（舍），，從而． 5分

所以點的坐標為． 6分

（3）設，，．

∵三點共線，∴，整理，得． 8分

∵三點共線，∴，整理，得． 10分

∵點在橢圓上，∴，．

從而． 14分

所以 15分

∴為定值，定值為． 16分

考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系