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已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).直線與直線分別與軸交于點(diǎn),試問(wèn)以線段為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.
(1)橢圓的方程是;(2)線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)

試題分析:(1)求橢圓的方程,已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為,故可用待定系數(shù)法,利用離心率可得,利用過(guò)點(diǎn),可得,再由,即可解出,從而得橢圓的方程;(2)這是探索性命題,可假設(shè)以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn),則,故需表示出的坐標(biāo),因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn),所以點(diǎn),設(shè),分別寫(xiě)出直線與的方程,得的坐標(biāo),由,得,因此由,則式方程的根,利用根與系數(shù)關(guān)系得,,代入即可.
試題解析:(1)由題意得,解得
所以橢圓的方程是.                         4分
(2)以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn).

設(shè),則有
又因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn),所以點(diǎn)
由題意可知直線的方程為,故點(diǎn)
直線的方程為,故點(diǎn)
若以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn),則等價(jià)于恒成立.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240426022231022.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以恒成立.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042602270990.png" style="vertical-align:middle;" />

所以.解得
故以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn).         14分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)拋物線:的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),焦點(diǎn)為;橢圓為焦點(diǎn),離心率.設(shè)的一個(gè)交點(diǎn).

(1)求橢圓的方程.
(2)直線過(guò)的右焦點(diǎn),交兩點(diǎn),且等于的周長(zhǎng),求的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為,動(dòng)點(diǎn)在直線為半焦距)上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程;
(3)設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)
求證:線段的長(zhǎng)為定值,并求出這個(gè)定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓:的離心率為,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為橢圓的左頂點(diǎn),平行于的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).判斷直線是否關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),并說(shuō)明理由.

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若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和右焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最小值為( )
A.B.-C.D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,且過(guò)點(diǎn)P,A為上頂點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn).點(diǎn)Q(0,t)是線段OA(除端點(diǎn)外)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過(guò)Q作平行于x軸的直線交直線AP于點(diǎn)M,以QM為直徑的圓的圓心為N.
(1)求橢圓方程;
(2)若圓N與x軸相切,求圓N的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)R為圓N上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)R到直線PF的最大距離為d,求d的取值范圍.

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是橢圓上的點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),,則 的面積等于______________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上,為橢圓的右焦點(diǎn),若點(diǎn)滿(mǎn)足,則的最小值為(  )
A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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