Question

設拋物線:的準線與軸交于點,焦點為;橢圓以和為焦點,離心率.設是與的一個交點.

(1)求橢圓的方程.
(2)直線過的右焦點,交于兩點,且等于的周長,求的方程.

Answer 1

(1)的方程為.(2)的方程為或.

試題分析：(1)已知焦點，即可得橢圓的故半焦距為,又已知離心率為，故可求得半長軸長為2,從而知橢圓的方程為.(2)由(1)可知的周長，即等于6. 設的方程為代入，然后利用弦長公式得一含的方程，解這個方程即得的值，從而求得直線的方程.
試題解析：(1)由條件,是橢圓的兩焦點,故半焦距為,再由離心率為知半長軸長為2,從而的方程為,其右準線方程為.
(2)由(1)可知的周長.又:而.
若垂直于軸,易得,矛盾,故不垂直于軸,可設其方程為,與方程聯立可得,從而
,
令可解出,故的方程為或.