Question

14．已知函數f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）-log₄2^x+$\frac{1}{2}$x-m=0有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函數，可得f（-1）=f（1）．解出即可．
（2）利用函數單調性、偶函數的性質即可得出．

解答 解：（1）∵函數f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函數，
∴f（-1）=f（1）．
∴log₄5+k=log4$\frac{5}{4}$-k，
化為2k=-1，解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x．
經過驗證滿足偶函數的定義．
（2）由f（x）-log₄2^x+$\frac{1}{2}$x-m=0得到：
m=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x-log₄2^x+$\frac{1}{2}$x=$lo{g}_{4}^{\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}}$=$lo{g}_{4}^{（{2}^{x+\frac{1}{{2}^{x}}}）}$，
∵2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，
∴m≥$\frac{1}{2}$．
∴實數m的取值范圍是m≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數單調性、奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．