Question

17．已知雙曲線C與橢圓x²+4y²=64有相同的焦點，且直線$x+\sqrt{3}y=0$為雙曲線C的一條漸近線，則雙曲線C的方程是$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點坐標，利用雙曲線的漸近線方程，轉化求解即可．

解答 解：雙曲線C與橢圓x²+4y²=64有相同的焦點（±4$\sqrt{3}$，0），直線$x+\sqrt{3}y=0$為雙曲線C的一條漸近線，
可得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，又a²+b²=48，可知a²=36，b²=12．
則雙曲線C的方程是：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質以及雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線法方程的求法，考查計算能力．