Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=

n2

2

+

n

2

，{b_n}為等比數列，且b₂=

1

4

，b₅=-

1

32

．
（1）若c_n=4+ban，求數列{c_n}的通項公式；
（2）設T_n為數列{c_n}的前n項和，若對任意的n∈N⁺，都有p•（T_n-4n）∈[1，3]，求實數p的值．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用遞推式可得a_n，利用等比數列的通項公式可得b_n，進而得到c_n．
（2）利用等比數列的前n項和公式、數列的單調性即可得出p的取值范圍．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=

n2

2

+

n

2

，
∴當n=1時，a₁=S₁=

1

2

+

1

2

=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n2

2

+

n

2

-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n．
當n=1時，上式也成立．
∴a_n=n．
設等比數列{b_n}的公比為q，且b₂=

1

4

，b₅=-

1

32

．
∴b5=b2q3，∴-

1

32

=

1

4

×q3，解得q=-

1

2

，
∴bn=b2qn-2=

1

4

(-

1

2

)n-2=(-

1

2

)n．
∴c_n=4+ban=4+b_n=4+(-

1

2

)n，即c_n=4+(-

1

2

)n．
（2）由（1）可得：T_n=4n+

1 2 [1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=4n+

1

3

[1-(-

1

2

)n]．
∴p•（T_n-4n）=p

1

3

[1-(-

1

2

)n]．
∵對任意的n∈N⁺，都有p•（T_n-4n）∈[1，3]，
∴1≤p[1-(-

1

2

)n]≤3，
∴

1

1-(- 1 2 )n

≤p≤

3

1-(- 1 2 )n

，
∴

4

3

≤p≤2．
∴實數p的值范圍是

4

3

≤p≤2．
．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數列的通項公式及其前n項和公式、數列的單調性、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．