Question

已知分別是橢圓的左，右頂點，點在橢圓 上，且直線與直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）點為橢圓上除長軸端點外的任一點，直線，與橢圓的右準線分別交于點，．
①在軸上是否存在一個定點,使得?若存在，求點的坐標；若不存在,說明理由；
②已知常數，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）①存在點的坐標為，②.

試題分析：（1）利用題目條件建立關于a，b，c的方程組，解方程組即可；
（2）①對于存在性問題，可以先假設點存在，然后根據以及點P在橢圓上直線，與橢圓的右準線分別交于點，等相關條件建立方程，看看點E的橫坐標是不是定值，如果是即為所求，如果不是也就說明了不存在；②利用向量的坐標運算，計算， ，進而求出的表達式，在利用函數知識求取值范圍.

試題解析：（1）由題意得，，
 ， ∴，
由點在橢圓C上，則有：
 ，                2分
由以上兩式可解得．
∴橢圓方程為．         4分
（2）①橢圓右準線的方程為．                                  5分
假設存在一個定點,使得．設點()．
直線的方程為，令，，∴點坐標為．
直線的方程為，令，，
∴點坐標為．                     7分
若，則，∵ ，，
∴．             9分
∵點在橢圓上，∴，∴ ，代入上式，得 ，
∴，∴點的坐標為．                       11分
②∵， ，
∴．
∵，，∴．
∴ ．                    13分
設函數，定義域為，
當時，即時，在上單調遞減，的取值范圍為，
當時，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，的取值范圍為 ．
綜上，當時，的取值范圍為，
當時，的取值范圍為．             16分