Question

16．已知xⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，若5a₁=2a₂，則a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=64．

Answer 1

分析 根據xⁿ=[1+（x-1）]ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，且5a₁=2a₂，得出5${C}_{n}^{1}$=2${C}_{n}^{2}$，求出n的值，再令x=2求出a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

解答 解：∵xⁿ=[1+（x-1）]ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ，
且5a₁=2a₂，
∴5${C}_{n}^{1}$=2${C}_{n}^{2}$，
即5n=n（n-1），
解得n=6或n=0（不合題意，舍去）；
∴n=6；
令x=2，∴a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=2⁶=64．
故答案為：64．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，是給變量賦值的問題，關鍵是根據要求的結果，選擇合適的數值代入，屬于基題