Question

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C分別為坐標軸上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4．
（1）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）在平面直角坐標系xOy中是否存在一點P，使得以點A，B，C，P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A，B，C帶入構造方程組，可求出a，b，c的值，得到拋物線的解析式；
（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P（5，3），使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（1，0）B（0，3）C（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=3\\ 16a-4b+c=0\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{3}{4}$，b=-$\frac{9}{4}$，c=3，
∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x+3；
（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：
∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，當BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，
∴BP=AC=5，且點P到x軸的距離等于OB，∴點P的坐標為（5，3），
當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，
則當點P的坐標為（5，3）時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．