Question

4．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$，曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（1）求f（x）的最小值；
（2）比較f（x）與$f（\frac{1}{x}）$的大小；
（3）證明：x＞0時，xe^xlnx+e^x＞x³．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求出a，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值即可．
（2）令$g（x）=f（x）-f（\frac{1}{x}）$，化簡通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后通過x 的范圍，判斷兩個數(shù)的大小．
（3）要證xe^xlnx+e^x＞x³，即證：$lnx+\frac{1}{x}＞\frac{x^2}{e^x}$，令$h（x）=\frac{x^2}{e^x}$，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，即可證明結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）f'（x）=$\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}（x＞0）$，根據(jù)題意知f'（1）=0，即a=1，∴$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，
…（2分）
∴f'（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，∴當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）_min=f（1）=1．   …（4分）
（2）令$g（x）=f（x）-f（\frac{1}{x}）$=$lnx+\frac{1}{x}-[ln（\frac{1}{x}）+x]$=$2lnx+\frac{1}{x}-x$，
$g'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-1=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x^2}≤0$，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減…（6分）
又∵g（1）=0∴當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＞g（1）=0，$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$；
當(dāng)x＞1時，g（x）＜g（1）=0，$f（x）＜f（\frac{1}{x}）$；
當(dāng)x=1時，g（x）=0，$f（x）=f（\frac{1}{x}）$．…（8分）
（3）要證xe^xlnx+e^x＞x³，即證：$lnx+\frac{1}{x}＞\frac{x^2}{e^x}$…（10分）
令$h（x）=\frac{x^2}{e^x}$，即證∴f（x）＞h（x），$h'（x）=\frac{{2x{e^x}-{e^x}{x^2}}}{{{e^{2x}}}}$=$\frac{{2x-{x^2}}}{e^x}$，
∴當(dāng)0＜x＜2時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞2時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；∴h（x）_max=h（2）=$\frac{4}{e^2}＜1$，
又由（1）知f（x）_min=1，∴f（x）≥1，∴f（x）＞h（x），得證．…（12分）
附加題：（每小題（5分），共15分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．