Question

，，為常數，離心率為的雙曲線：上的動點到兩焦點的距離之和的最小值為，拋物線：的焦點與雙曲線的一頂點重合。(Ⅰ)求拋物線的方程；（Ⅱ）過直線：（為負常數）上任意一點向拋物線引兩條切線，切點分別為、，坐標原點恒在以為直徑的圓內，求實數的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)    （Ⅱ）

第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為，離心率為，則長軸長為2，故雙曲線的上頂點為，所以拋物線的方程
第二問中，為，，，
故直線的方程為，即，
所以，同理可得：
借助于根與系數的關系得到即，是方程的兩個不同的根，所以
由已知易得，即
解：(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為，離心率為，則長軸長為2，故雙曲線的上頂點為，所以拋物線的方程
（Ⅱ）設為，，，
故直線的方程為，即，
所以，同理可得：，
即，是方程的兩個不同的根，所以
由已知易得，即