Question

17．已知函數f（x）=xlnx+e^t-a，若對任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上總有唯一的零點，則a的取值范圍是（　　）

• A． $[e-\frac{1}{e}，e）$
• B． [1，e+1）
• C． [e，e+1）
• D． $（e-\frac{1}{e}，e+1）$

Answer 1

分析 求出函數的導數，判斷函數的單調性，畫出函數y=xlnx與函數y=a-e^t的圖象，利用零點的個數，得到a的不等式，通過恒成立求解即可得到結論．

解答 解：函數f（x）=xlnx+e^t-a，可得f′（x）=lnx+1，
所以由f′（x）=0?lnx+1=0?x=$\frac{1}{e}$，x＞$\frac{1}{e}$，
f′（x）＞0，所以f（x）在（0，e^-1）上單調遞減，
在（e^-1，e）上單調遞增．函數f（x）=xlnx+e^t-a，
在坐標系中畫出y=xlnx與y=a-e^t的圖象，如圖：
對任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上總有唯一的零點，
可得：0≤a-e^t＜e，
可得e^t≤a＜e^t+e，可得e≤a＜1+e，
即a∈[e，e+1）．
故選：C．

點評 本題主要考查導數的綜合應用，利用導數的幾何意義以及函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．