Question

12．已知奇函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（2）=0，則不等式$\frac{f（-x）-f（x）}{2x}$≥0的解集為（　　）

• A． [-2，0）∪（0，2]
• B． [-2，0）∪[2，+∞）
• C． （-∞，2]∪（0，2]
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 根據函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行等價轉化即可．

解答 解：∵奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，又f（2）=0，
∴函數f（x）在（-∞，0）上為增函數，且f（-2）=-f（2）=0，
∴函數f（x）的圖象如圖，
則不等式不等式$\frac{f（-x）-f（x）}{2x}$≥0等價為$\frac{f（x）}{x}≤0$，
等價為x＞0時，f（x）≤0，此時0＜x≤2．
當x＜0時，f（x）≥0，此時-2≤x＜0，
即不等式的解集是：[-2，0）∪（0，2]．
故選：A．

點評 本題主要考查不等式的解法，根據函數奇偶性和單調性的性質作出函數的草圖是解決本題的關鍵．