Question

1．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右支上有一點A，它關于原點的對稱點為B，點F為雙曲線的右焦點，設∠ABF=θ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）且$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，則雙曲線離心率的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 如圖所示，設雙曲線的左焦點為F′，連接AF′，BF′．則四邊形AFBF′為矩形．因此|AB=|FF′|=2c．而|AF′|-|AF|=2a．|AF|=2csinα，|BF′|=2ccosα．可得e=$\frac{1}{cosθ-sinθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，由θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）求出雙曲線離心率的最小值．

解答 解：如圖所示，
設雙曲線的左焦點為F′，連接AF′，BF′．
則四邊形AFBF′為矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
|AF′|-|AF|=2a．
|AF|=2c•sinθ，|BF|=2c•cosθ．
∴2c•cosθ-2csinθ=2a．
∴e=$\frac{1}{cosθ-sinθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，
∵θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$），
∴e∈[$\sqrt{3}$+1，+∞）．
雙曲線離心率的最小值$\sqrt{3}$+1，
故選D．

點評 本題考查了雙曲線的定義及其性質、兩角差的正弦公式、正弦函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．