Question

4．在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點A在直線l上．
（1）求a的值及直線l的直角坐標方程；
（2）已知曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+5cost\\ y=3+5sint\end{array}\right.$，（t為參數），直線l與C交于M，N兩點，求弦長|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用點A在直線l上，求出a的值，即可得出直線l的直角坐標方程；
（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理，即可得出結論．

解答 解：（1）∵點A的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點A在直線l上，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴ρcosθ+ρsinθ=2，
∴x+y-2=0；
（2）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+5cost\\ y=3+5sint\end{array}\right.$，（t為參數），普通方程為（x-4）²+（y-3）²=25，
∴C的軌跡是以C（4，3）為圓心，5為半徑的圓，
圓心到直線的距離d=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，
∴|MN|=2$\sqrt{25-\frac{25}{2}}$=5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標，參數方程與普通方程的互化，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．