Question

12．定義在R上的函數f（x）滿足f（x）＞1-f′（x），若f（0）=6，則不等式f（x）＞1+$\frac{5}{e^x}$（e為自然對數的底數）的解集為（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （5，+∞）
• C． （-∞，0）∪（5，+∞）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解

解答 解：設g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f'（x）＞1-f（x），
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞增，
∵f（x）＞1+$\frac{5}{e^x}$，
∴e^xf（x）＞e^x+5，
∴g（x）＞5，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=6-1=5，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查函數的導數與單調性的結合，結合已知條件構造函數，然后用導數判斷函數的單調性是解題的關鍵．