Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M、N分別是面對(duì)角線A₁B和B₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求三棱錐N-MBC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN⊥AB．
（2）求出平面A₁BCD₁的一個(gè)法向量，從而得到N到平面A₁BCD₁的距離，由此能求出三棱錐N-MBC的體積．

解答： （1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（1，

1

2

，

1

2

），N（

1

2

，

1

2

，1），

MN

=(-

1

2

，0，

1

2

)，

AB

=（0，1，0），
∵

AB

•

MN

=0，∴MN⊥AB．
（2）設(shè)平面A₁BCD₁的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），

A1B

=（0，1，-1），

BC

=（-1，0，0），
由

A1B

•

n

=0，

BC

•

n

=0，得

y-z=0 -x=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，1），
點(diǎn)N到平面A₁BCD₁的距離d=

| n • MN |

| n |

=

2

4

．
S_△MBC=

1

2

•BC•MB=

2

4

，
∴V_N-MBC=

1

3

S△MBC•d=

1

3

×

2

4

×

2

4

=

1

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐N-MBC的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．