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13.已知數列{an}(n∈N*)是公差不為0的等差數列,若a1=1,且a2,a4,a8成等比數列.
(Ⅰ)求{an}的通項公式;
(Ⅱ)若bn=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$,求數列{bn}的前n項和Sn

分析 (I)a2,a4,a8成等比數列,可得${({a_4})^2}={a_2}•{a_8}$.再利用等差數列的通項公式即可得出.
(Ⅱ)bn=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,利用“裂項求和方法”即可得出.

解答 解:(Ⅰ)設{an}的公差為d,
因為a2,a4,a8成等比數列,所以${({a_4})^2}={a_2}•{a_8}$.
即${({a_1}+3d)^2}=({a_1}+d)•({a_1}+7d)$,即d2=a1d.
又a1=1,且d≠0,解得d=1.
所以有an=a1+(n-1)d=1=(n-1)=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
則${S_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
即${S_n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$.

點評 本題考查了等比數列與等差數列的通項公式、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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