Question

16．在各項為正實數的等差數列{a_n}中，其前2016項的和S₂₀₁₆=1008，則$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$的最小值為（　　）

• A． 12
• B． 16
• C． $\frac{1}{84}$
• D． $\frac{2}{251}$

Answer 1

分析 推導出a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，從而$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$=（$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{9}{{a}_{1016}}$）（a₁₀₀₁+a₁₀₁₆），由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$的最小值．

解答 解：∵在各項為正實數的等差數列{a_n}中，其前2016項的和S₂₀₁₆=1008，
∴${S}_{2016}=\frac{2016}{2}（{a}_{1}+{a}_{2016}）$=1008（a₁₀₀₁+a₁₀₁₆）=1008，
∴a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，
∴$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$=（$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{9}{{a}_{1016}}$）（a₁₀₀₁+a₁₀₁₆）=$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}$+$\frac{9{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$+10
≥2$\sqrt{\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}×\frac{9{a}_{1001}}{{a}_{1016}}}$+10=16．
當且僅當$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}=\frac{9{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$時，取等號，
∴$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$的最小值為16．
故選：B．

點評 本題考查等差數列的兩項倒數和的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質、基本不等式的合理運用．