Question

4．對于函數f（x）=x圖象上的任一點M，在函數g（x）=lnx上都存在點N（x₀，y₀），使$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0（O$是坐標原點），則x₀必然在下面哪個區間內？（　　）

• A． $（\frac{1}{e^3}，\frac{1}{e^2}）$
• B． $（\frac{1}{e^2}，\frac{1}{e}）$
• C． $（\frac{1}{e}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$
• D． $（\frac{1}{{\sqrt{e}}}，1）$

Answer 1

分析 問題轉化為x₀是函數h（x）=x+lnx的零點，根據函數的零點的判斷定理求出x₀的范圍即可．

解答 解：由題意得：$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$=-1，
即lnx₀+x₀=0，
即x₀是函數h（x）=x+lnx的零點，
由h（x）在（0，+∞）是連續的遞增函數，
且h（$\frac{1}{e}$）=-1+$\frac{1}{e}$＜0，h（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{2-\sqrt{e}}{2\sqrt{e}}$＞0，
得h（x）在（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）有零點，
即x₀∈（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$），
故選：C．

點評 本題考查了函數零點的判斷定理，考查對數函數的性質以及轉化思想，是一道中檔題．