Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，焦距為2，O是坐標原點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）直線y=x+m交橢圓C于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經過O點，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的半焦距為c，列出橢圓的離心率與焦距的方程，求解橢圓的距離，即可得到橢圓方程．
（2）聯立直線與橢圓方程，設A（x₁，x₁+m）、B（x₂，x₂+m），利用判別式以及韋達定理，通過$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$
整合求解即可．

解答 解：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}}\\{2c=2}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{c=1}\end{array}}\right.}\right.$，…（4分）
則$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{5}$，故橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1$．…（5分）
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1}\end{array}⇒11{x^2}+12mx+6{m^2}-30=0}\right.$①…（6分）
依題意得①的△=（12m）²-4×11（6m²-30）＞0⇒m²＜11②…（7分）
設A（x₁，x₁+m）、B（x₂，x₂+m）由①得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{12m}{11}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{6{m^2}-30}}{11}}\end{array}}\right.$③…（8分）
以AB為直徑的圓經過O點，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$
即$（{x}_{1}，{x}_{1}+m）（{x}_{2}，{x}_{2}+m）=2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$…（10分）
將③代入上式得$\frac{{12{m^2}-60}}{11}-\frac{{12{m^2}}}{11}+{m^2}=0⇒{m^2}=\frac{60}{11}$，這個結果滿足②式
故$m=±\frac{{2\sqrt{165}}}{11}$．                                         …（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．