Question

變量x、y滿足

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

（1）假設z=4x-3y，求z的最大值．
（2）設z=

y

x

，求z 的最小值．
（3）設z=x²+y²，求z的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，再將目標函數z對應的直線進行平移，可得當x=5且y=2時，z取得最大值14．
（2）設P（x，y）為區域內一點，得目標函數z=

y

x

表示P、O兩點連線的斜率，運動點P并觀察直線OP斜率的變化，即可得到z的最小值．
（3）設P（x，y），可得x²+y²=|OP|²表示O、P兩點距離的平方之值，因此運動點P并加以觀察可得|OP|的最大、最小值，即可得到z=x²+y²的范圍．

解答：解：作出不等式組

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，
其中A（1，

22

5

），B（5，2），C（1，1）
（1）設z=F（x，y）=4x-3y，將直線l：z=4x-3y進行平移，
當l經過點B時，目標函數z達到最大值
∴z_最大值=F（5，2）=5×4-6=14
（2）設P（x，y）為區域內一個動點，
可得z=

y

x

表示P、O兩點連線的斜率
運動點P，可得當P與B重合時，z=

y

x

達到最小值
∴z=

y

x

的最小值為

2

5

；
（3）解答：設P（x，y）為區域內一個動點
則|OP|=

x2+y2

，
因此z=x²+y²=|OP|²表示O、P兩點距離的平方之值
∵當P與B重合時|OP|=

52+22

=

29

達到最大值，
當P與點C重合量，|OP|=

12+12

=

2

達到最小值
∴z=x²+y²的最小值為2，最大值為29，即x²+y²的取值范圍是[2，29]

點評：本題給出二元一次不等式組，求目標函數z=4x-3y的最大值、z=

y

x

的最小值和z=x²+y²的取值范圍，著重考查了直線的斜率公式、兩點的距離公式、二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．