Question

1．已知動點M到點（8，0）的距離等于M到點（2，0）的距離的2倍．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若直線y=kx-5與軌跡C沒有交點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設動點坐標M（x，y）利用兩點之間的距離公式建立關系，可得M的軌跡方程．
（2）解法一：由（1）可知軌跡C是圓，利用圓心到直線的距離大于半徑，可求k的取值范圍．
解法二，直線y=kx-5與軌跡C聯立方程組，消去x（或y），利用判別式△＜0，沒有交點k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：設動點坐標M（x，y），則$\sqrt{（x-8）^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得：x²+y²=16．
即動點M的軌跡C的方程為：x²+y²=16．
（2）解法一：由（1）可知軌跡C是圓，圓心（0，0），半徑r=4，
由圓心到直線的距離d$\frac{|5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}＞4$，
解得：$-\frac{3}{4}＜k＜\frac{3}{4}$．
解法二：直線y=kx-5與軌跡C聯立方程組，即：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\\{y=kx-5}\end{array}\right.$，消去y，并化簡可得：（1+k²）x²-10kx+9=0，
∵直線y=kx-5與軌跡C沒有交點，
所以：△=b²-4ac=100k²-36（1+k²）＜0，
即16k²-9＜0，
解得：$-\frac{3}{4}＜k＜\frac{3}{4}$．
故得k的取值范圍是（$-\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

點評 本題主要考查軌跡方程的求法和直線和圓的位置關系的判斷，根據直線和圓沒有交點即判別式小于0（或者利用圓心到直線的距離大于半徑）求解是關鍵．屬于基礎題．