Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，CB與⊙O相切與點B，E為線段CB上一點，
連結AC、AE，分別交⊙O于D、G兩點，連結DG并延長交CB于點F，
若EB=3EF，EG=1，GA=3，求線段CE的長．

Answer 1

分析 由題意因為EG=1，GA=3，所以EA=EG+GA=4，又因為EG•EA=EB²，可求EB=2，又EB=3EF，可求FB，利用角度關系，證明CEGD四點共圓，可得FG•FD=FE•FC=FB²，求得FC，那么線段CE的長=CF-EF，

解答 解：由題意：∵EG=1，GA=3，
∴EA=EG+GA=4，CB與⊙O相切與點B，E為線段CB上一點，∴EG•EA=EB²，
則EB=2，又EB=3EF，所以$EF=\frac{2}{3}$，FB=$\frac{4}{3}$，
連結BD，則∠AGD=∠ABD，∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90，
∴∠C=∠AGD，
所以∠C+∠DGE=180°，
因此：C，E，G，D四點共圓；
∴FG•FD=FE•FC=FB²，
求得FC=$\frac{8}{3}$．
∴CE=CF-EF=2．

點評 本題考查了切線的性質，弦切角定理，圓有關的線段比例．四點共圓的證明是關鍵．屬于中檔題．