Question

6．已知函數f（x）=2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$，給出如下三個命題：
p₁：?a∈R，使得函數y=f（x）的偶函數；
p₂：若a=-3，則y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上有零點；
p₃：?a∈（-∞，-2]，函數y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調遞增；
則下列命題正確的是（　　）

• A． ￢p₁
• B． p₁∧p₂
• C． p₂∧p₃
• D． p₁∧（￢p₃）

Answer 1

分析 舉出正例a=2，可判斷命題p₁；將a=-3代入，判斷函數的零點個數，可判斷命題p₂，求出使函數y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調遞增的a的范圍，可判斷命題p₃；

解答 解：當a=2時，函數f（x）=2^x+1+$\frac{2}{{2}^{x}}$，滿足f（-x）=f（x），
使得函數y=f（x）的偶函數，故命題p₁是真命題；
當a=-3時，f（x）=2^x+1-$\frac{3}{{2}^{x}}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
則y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上無零點，故命題p₂是假命題；
當a＜0時，函數f（x）=2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$為增函數，若函數y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調遞增，只須f（-$\frac{1}{2}$）≥0，
即-1≤a≤0時，函數y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調遞增，故命題p₃是假命題；
故命題￢p₁，p₁∧p₂，p₂∧p₃均為假命題，
命題p₁∧（￢p₃）為真命題，
故選：D

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的單調性，函數的奇偶性，函數的零點等知識點，難度中檔．